今更ながら、モンティ・ホール問題について

モンティ・ホール問題とは、三つの扉の一つに当たりがあるので、どのドアかを当てる、その確率の問題で、プレーヤーが最初に選んだ後に、モンティが残りのドアの一つを開け、はずれのドア一つを示した後、再度プレーヤーはドアの選択を変えることができます。マリリンは選択を変える方が得としたのに対し、多くの数学関係者などが選択を変えるメリットは全くなく、どちら同じ確率としたお話で、興味ある方はWikipediaをご覧になって下さい。
さて、ある塾の中学生用の確率問題で完全に確率を誤解する問題と回答があり、中学生につまりは嘘を教えることになる、そういう塾があるのですが、以下を見ていただくと、そういう間違いも見つけることができるのではないかと思います。改めてモンティ・ホール問題を考えたので、問題の理解が難しい方も以下をご覧ください。Wikipediaの解説はほとんど見ていないのですが、以下はそれとは異なるかもしれません。独自の説明です。

確率では確率空間というものをしっかり作ることが大切です。それは、何が等しい確率かを決めることです。モンティ・ホールでは選択は3度あり、それぞれ何が等しい確率かを考える必要があります。プレーヤーがドアを選択するのは3通りありますが、どれも同じ確率とすれば、確率区間を決めたことになり、ドアAを選ぶのは1/3になります。もちろん、モンティがあたりを決める場合も同い確率とすればどのドアもあたりの確率は1/3です。多くの数学者が勘違いしたのは、モンティが開けるドアを選択するのを同じ確率としたのですが、実際にはこれは同じ確率にはなりません。なぜなら、もし、プレーヤーが選択したドア以外に当たりがあれば、モンティはそのドアを開けることができないからです。

以下場合分けして、条件確率の計算ができるようにしました。ドアはA、B、C、当たりを濃い色ドアで、プレーヤーがAを選択した場合で示しますと次の3通りがあり、それぞれ1/3の確率です。

それぞれの場合にモンティが選ぶ場合を考えます。図ではモンティの開けるドアをバツで示しています。
1の場合はBを選ぶ場合とCを選ぶ場合があり、それぞれ選ぶときの確率は1/2です。2や3では選ぶことはできず、ハズレのドアを開けるのみなので、この時の確率は1になります。

ということで、プレーヤーがドアを選んでからの最終的な確率はこのようになりました。モンティがBを開けてハズレを示したとすると、今のままが当たりは1/6、残ったドアが当たりは1/3になります。Cを開けても同じで、マリリンの答えの通り、ドア選択を残った方に変える方が確率は2倍になります。ポイントはモンティが開けるドアを選ぶ確率はそれまでの条件によって変わり、2や3の場合は等しくないということに気がつくことです。条件付き確率の難しさと言ってしまえばそうですが、条件によって確率変わることがあることはほとんど知られていないのです。

ところで、確率空間をきちんと設定していない問題を使って、中学生に確率を教えている有名塾があります。めちゃくちゃな間違いを教えているわけです。気をつけましょう。